Der Binärbaum ist eine nicht lineare Datenstruktur. Er ist eine Unterform des Baumes und somit auch des gerichteten Graphen. Zu Beginn sollten einige grundlegende Begriffe des Baumes geklärt werden.

Beispiel BinärBaum

Grundbegriffe Baum

Knoten: Ein Wert im Baum. Im Beispiel: a, b

Kante: Eine Verbindung zwischen zwei Knoten. In der Zeichnung durch einen verbindenden Strich dargestellt.

Vorgänger: Knoten, über den man zu diesem Knoten gelangt ist. Im Beispiel: b ist der Vorgänger von d.

Wurzel: Der erste Knoten. Der einzige Knoten ohne Vorgänger. Im Beispiel: a.

Blatt: Knoten ohne Kinder. Im Beispiel: d, e, f, g.

Grad: Anzahl der Kinder eines Knoten. Im Beispiel: Knoten b hat den Grad 2.

Pfad: Weg, um zu einem Knoten zu gelangen. Im Beispiel: LR beschreibt den Pfad, um zu Knoten e zu gelangen.

Ebene: Alle Knoten, die nach nn Schritten erreichbar sind. Im Beispiel: b und c gehören Ebene 1 an.

Tiefe: Länge des längstmöglichen Pfads. Im Beispiel: 2.

Teilbaum: Jeder Knoten kann als neue Wurzel betrachtet werden. Hier entspringt ein neuer Teilbaum. Im Beispiel: b und c sind Wurzeln der Teilbäume von a.

Kriterien Binärbaum

Ein Binärbaum muss zwei Kriterien erfüllen:

Er ist azyklisch, das heißt in ihm gibt es keine Möglichkeit, beim traviersieren in einen Kreislauf zu geraten.

Der Grad eines jeden Knoten muss 2\leq 2 sein.

Implementierung

Die Implementierung des BinaryTree ist sehr simpel.

class BinaryTree<ContentType> {
  /**
   * Attributes
   */
  ContentType content;
  BinaryTree<ContentType> leftTree;
  BinaryTree<ContentType> rightTree;

  /**
   * Constructors
   */

  // Erstellt leeren Baum
  BinaryTree() {}

  // Erstellt Blatt
  BinaryTree(ContentType content) {
    if (content == null) { return; }

    this.content = content;

    this.leftTree = new BinaryTree<>();
    this.rightTree = new BinaryTree<>();
  }

  // Erstellt Inneren Knoten
  BinaryTree(ContentType content, BinaryTree<ContentType> leftTree, BinaryTree<ContentType> rightTree) {
    if (content == null) { return; }

    this.content = content;

    if (leftTree == null) { this.leftTree = new BinaryTree<>(); }
    else { this.leftTree = leftTree; }

    if (rightTree == null) { this.rightTree= new BinaryTree<>(); }
    else { this.rightTree = rightTree; }
  }
}

Die Klasse enthält daneben Getter und Setter für alle Attribute.

Traversierung

Um Bäume zu traversieren, bieten sich zwei verschiedene Verfahren an: Breiten- sowie Tiefensuche.

Ich möchte hier zunächst die Tiefensuche beleuchten: Dabei geht man alle möglichen Pfade bis zum Ende und kehrt erst um, wenn man an einem Blatt angelangt ist. Dabei gibt es drei mögliche Reihenfolgen, Wurzel, linken und rechten Teilbaum zu besuchen:

  • preOrder besucht erst die Wurzel, dann links, dann rechts
  • inOrder besucht erst links, dann die Wurzel, dann rechts
  • postOrder besucht erst links, dann rechts, dann die Wurzel

preOrder und postOrder nennt man auch “polnische Notation” sowie “inverse polnische Notation”, in Anlehnung an ihren Erfinder Jan Łukasiewicz.

An Pseudocode und werden die Algorithmen besser klar:

preOrder

DEF preOrder(knoten)
  WENN knoten leer ist DANN return

  besuche wurzel
  preOrder(linker Teilbaum)
  preOrder(rechter Teilbaum)

preOrder Beispiel

inOrder

DEF inOrder(knoten)
  WENN knoten leer ist DANN return

  inOrder(linker Teilbaum)
  besuche wurzel
  inOrder(rechter Teilbaum)

inOrder Beispiel

postOrder

DEF postOrder(knoten)
  WENN knoten leer ist DANN return

  postOrder(linker Teilbaum)
  postOrder(rechter Teilbaum)
  besuche wurzel

postOrder Beispiel

Anwendung

BinärBaüme können zum Beispiel für die Modellierung eines Ahnenbaum verwendet werden. Darin bildet die betrachtete Person die Wurzel, die Ahnenbäume ihrer Eltern die beiden Teilbäume der Wurzel.

Auch Rechenterme lassen sich im Binärbaum darstellen. Darin bilden die Werte die Blätter, die inneren Knoten die Operatoren. Rechenterm Baum